性质不同：单位元是集合里的一种特别的元，与该集合里的运算（可理解为实数里的*，但并不局限于）有关。设*是定义在集合S上的一个二元运算，如果有一个元θl∈S，使得对于任意的元素x∈A都有θl*x=θl，则称θl为S中关于运算*的左零元。
单位元，亦称幺元，对任一集合中的元素进行运算后保持不变。逆元概念，对于集合内任意元素，存在一对应元素，其运算结果为幺元。零元定义，其与集合内任意元素运算后结果均为零元。群定义，由特定集合与二元运算组成，满足结合律，且存在幺元与逆元。群性质，群的封闭性，结合律，幺元与逆元的存在。
在离散数学中o一般表示零元，e表示单位元。注意，零元与单位元的区别。
群（G，*）中的元素e满足 e*a=a*e=a 称之为单位元 如果群是交换的也可以称之为零元，就是零元素。幺元一般在环中有出现，是环中的元素，关于乘法*有a*e=a=e*a 0是（N，+）系统中的单位元，也是零元。
单位元是0，14的逆元是-14（因为-14+14=0）。所谓零元O；也就是即左右零元，就是和某些数字或者矩阵（b），代数运算后还是0，若只能在某一边运算得到0，那么0在左边的成为左零元，在0右边的为右零元。有理数（0除外）乘法构成一个群，幺元就是数1，有理数x的逆元就是1/x，零元就是0。
1、环定义，集合内包含加法与乘法运算，满足加法群性与乘法半群性。交换环与幺环概念，乘法运算满足交换律与存在幺元。整数环为典型环实例。域定义，集合至少含两个元素，加法与乘法满足阿贝尔群性与半群性，每个非零元素均具逆元。域也可视为整环中每个非零元素皆有逆元。
2、综上所述，群、环和域在代数系统中各自拥有不同的结构和性质。群的核心在于一个二元运算和单位元的存在，环则扩展到了两个二元运算，并要求加法形成交换群，乘法满足结合律和分配律，而域在环的基础上进一步要求每个非零元素都有乘法逆元。这些性质共同定义了代数系统的基本结构。
3、群：在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。环（Ring）：是一类包含两种运算（加法和乘法）的代数系统，是现代代数学十分重要的一类研究对象。其发展可追溯到19世纪关于实数域的扩张及其分类的研究。
4、证明环：在环R，+，*中①对R，+是交换群，即群的+运算是可交换的；②对R，*是半群，即*的运算是可结合的；③乘法*对加法+适合分配律。证明域：环是①交换的、②含幺的、③无零因子的、④至少含两个元素的、⑤有逆元a的逆属于R的（a属于R），则称这个环为域。
5、这部分主要学习群、环、域等代数结构的基本概念、性质和运算规则。此外，还会涉及格与布尔代数的内容，这些都是离散数学中重要的理论工具。详细解释：离散数学是一门研究离散对象的数学学科。离散对象指的是那些可以明确区分开来的、互不连续的个体或事件。
哈哈。才考试了离散数学。幺元就是群里面的单位元离散数学单位元，群和独异点一定有幺元离散数学单位元，因为这是定义。群不能有零元，因为零元不可逆。半群和独异点可以有零元。
单位元，亦称幺元，对任一集合中的元素进行运算后保持不变。逆元概念，对于集合内任意元素，存在一对应元素，其运算结果为幺元。零元定义，其与集合内任意元素运算后结果均为零元。群定义，由特定集合与二元运算组成，满足结合律，且存在幺元与逆元。群性质，群的封闭性，结合律，幺元与逆元的存在。
离散数学半群和独异点 半群 一个代数系统S，*，其中S是非空集合，*是S上一个二元运算，如果满足：运算*是可结合的，即任取x，y，z∈S，有（x*y）*z=x*（y*z）则称S，*为半群。
S，*）构成一个半群，意味着*操作是可结合的。对于S中的任意元素x，y，z，离散数学单位元我们定义一个新的二元运算□，使得（x□y）□z等价于（x*a*y）□z。接下来，我们逐步验证新定义的运算□也是可结合的。首先，我们计算（x□y）□z的值。根据定义，（x□y）□z等于（x*a*y）□z。
是离散数学里的，代数系统那一章，要讲就时间长了……你自己去查查？S， *为一个代数系统，集S 不空。若*是S上的二元运算（封闭），则称S， *为广群。若S， *为广群，且*在S上可结合，则称S， *为半群。含有么元的半群称为独异点。
M={1，2，3}，规定对于M中的元素a和b，它们运算的结果是min{a+b，3}。或者自然一点，找一个幂零矩阵（A^n=0，对于某个n），把A的所有次幂放一起组成一个群，乘法是矩阵乘法。
1、对于任一群G，其子群有两个特别的，一个是仅包含单位元e的1阶子群{e}，另一个是包含所有G元素的自身G，这两个子群被称为平凡子群。在G为15阶循环群的情况下，除了G自身外，G的子群还包括1阶子群{e}，3阶子群，5阶子群以及15阶子群G。这些子群的阶数分别对应15的因子，确保了群结构的完整性。
2、如果群中只有一个元素，则这个元素即是幺元也是零元，其逆元也是本身。
3、群（G，*）中的元素e满足 e*a=a*e=a 称之为单位元 如果群是交换的也可以称之为零元，就是零元素。幺元一般在环中有出现，是环中的元素，关于乘法*有a*e=a=e*a 0是（N，+）系统中的单位元，也是零元。
4、在代数系统中，群定义包含一个二元运算，即对于任意元素a和b，存在一种运算*，使得a*b也在该集合内。若存在单位元e，对于集合中的任意元素a，有a*e=a=e*a。特别地，恒等函数f（x）=x在群的定义中扮演了单位元的角色，因为对任意x，f（x）*x=x=f（x）*x。
5、群是数学领域中的一个重要概念，尤其在抽象代数中占据核心地位。它描述了一种具有特定二元运算的代数结构。这种运算有时为了简化表达，可以称为“乘法”，而运算的结果通常用乘号两边的元素直接连接的形式表示，即a*b简记为ab。群的定义通常包括四个基本元素：集合、封闭性、结合律以及单位元和逆元。
6、一元运算与二元运算定义在此系统中运作。单位元，亦称幺元，对任一集合中的元素进行运算后保持不变。逆元概念，对于集合内任意元素，存在一对应元素，其运算结果为幺元。零元定义，其与集合内任意元素运算后结果均为零元。群定义，由特定集合与二元运算组成，满足结合律，且存在幺元与逆元。
半群是群的一个进一步简化版本，它没有引入单位元和逆元的概念，即运算满足封闭性与结合律即可。广群则是半群的进一步简化，它不要求运算满足结合律。这些不同的结构类型，如群、独异点、半群和广群，构成了代数学的一个重要分支，为理解和解决各种数学问题提供了有力工具。
则（ab）c = a（bc）满足结合律，因此是半群 显然，可交换，因此是可换半群。
在抽象代数中，我们关注的两种基本结构是半群和群。半群是一种非空集合[公式]，其中定义了一个二元运算“[公式]”，且满足结合律。若存在元素[公式]使得[公式]，这个元素被称为左（右）幺元；若同时满足左幺元和右幺元的条件，我们称之为幺元，也称单位元，对应的半群即为幺半群。
离散数学半群和独异点 半群 一个代数系统S，*，其中S是非空集合，*是S上一个二元运算，如果满足：运算*是可结合的，即任取x，y，z∈S，有（x*y）*z=x*（y*z）则称S，*为半群。
群性质，群的封闭性，结合律，幺元与逆元的存在。常见群实例，包括但不限于数域。环定义，集合内包含加法与乘法运算，满足加法群性与乘法半群性。交换环与幺环概念，乘法运算满足交换律与存在幺元。整数环为典型环实例。
